Priser Og Sikring Of Forex Vanlig Vanilje Alternativer

Vaniljeopsjon Hva er en vaniljeopsjon En vaniljeopsjon er et finansielt instrument som gir innehaveren rett, men ikke forpliktelsen, å kjøpe eller selge en underliggende eiendel, sikkerhet eller valuta til en forutbestemt pris innenfor en gitt tidsramme. Et vaniljealternativ er et normalt anrop eller put-alternativ som ikke har noen spesielle eller uvanlige funksjoner. Det kan være for standardiserte størrelser og forfall, og handles på en børs som Chicago Board Options Exchange eller skreddersydd og handles over disken. BREAKING DOWN Vanilla Option Individuelt, bedrifter og institusjonelle investorer kan dra nytte av allsidigheten til alternativer for å designe en investering som best tilfredsstiller deres behov for å sikre eksponering eller spekulere på prisbevegelsen til et finansielt instrument. Hvis et vaniljealternativ ikke passer riktig, kan de utforske eksotiske alternativer som barrierealternativer. Asiatiske alternativer og digitale alternativer. Eksotiske alternativer har mer komplekse funksjoner og er vanligvis handlet over skranken, de kan kombineres til komplekse strukturer for å redusere nettokostnaden eller øke løftestang. Kaller og legger Det er to typer vaniljealternativer: samtaler og setter. Eieren av en samtale har rett, men ikke forpliktelsen til å kjøpe det underliggende instrumentet til strykekursen, har eier av en pute rett, men ikke forpliktelse, til å selge instrumentet til strykekurs. Selgeren av opsjonen blir noen ganger referert til som sin forfatter som selger opsjonen, skaper en forpliktelse til å kjøpe eller selge instrumentet hvis opsjonen utøves av eieren. Hvert alternativ har en strykpris dette kan anses som sitt mål. Dersom strekkprisen er bedre enn prisen i markedet ved forfall, vurderes opsjonen i pengene og kan utøves av eieren. Et europeisk stil alternativ krever at alternativet er i pengene på utløpsdatoen, et amerikansk stil alternativ kan utøves hvis det er i pengene på eller før utløpsdatoen. Premien er prisen betalt for å eie opsjonen. Størrelsen på premien er basert på hvor nær streiken er til dagens terminmarkedspris for utløpsdatoen, markedets volatilitet og opsjonsløsningen. Høyere volatilitet og lengre løpetid øker premien. En opsjon øker egenverdi ettersom markedsprisen nærmer seg eller overgår strykingsprisen. Eieren av opsjonen kan selge den før utløpet for sin egenverdi. Eksotiske alternativer Det finnes mange typer eksotiske alternativer. Barrierealternativer inkluderer et nivå som, hvis de nås i markedet før utløpet, gir muligheten til å begynne å eksistere eller slutte å eksistere. Digitale alternativer betaler eieren hvis et visst prisnivå er truffet. En asiatisk opsjonsutbetaling avhenger av gjennomsnittlig handlet pris på det underliggende instrumentet i løpet av opsjonsperioden. Alternativstrukturer kombinerer vanilje og eksotiske alternativer for å skape skreddersydde resultater. Vanilje Vanilje Vanlig Vanille Vanille Vanille er for eksempel vanlig vaniljealternativ, en med en enkel utløpsdato og strekkpris og ingen tilleggsfunksjoner. Med et eksotisk alternativ, for eksempel et innslagsmulighet. En ytterligere beredskap legges til, slik at opsjonen bare blir aktiv når den underliggende aksjen treffer et fast prispunkt. Vanille Basics Vanille er et begrep som beskriver en omsettelig eiendel. eller finansielt instrument, i den finansielle verden som er den enkleste, mest standardversjonen av aktivet. Det kan brukes til spesifikke kategorier av finansielle instrumenter som opsjoner eller obligasjoner, men kan også brukes til handelsstrategier eller tenkemåter i økonomi. For eksempel er et alternativ en kontrakt som gir kjøperen det alternativet, men ikke forpliktelsen, å kjøpe eller selge en underliggende eiendel til en bestemt pris på eller før en bestemt dato. Et vaniljealternativ er et vanlig anrops - eller putalternativ, men med standardiserte vilkår og ingen uvanlige eller kompliserte funksjoner. Fordi, for eksempel, opsjonsalternativer gir mulighet til å selge til en forutbestemt pris (innenfor en gitt tidsramme), beskytter de mot en aksje som går under en viss prisgrense innenfor den tidsrammen. De mer spesifikke regler om alternativer, som de fleste finansielle instrumenter, kan ha forskjellige stiler knyttet til regioner, for eksempel et europeisk stil alternativ vs. et amerikansk-stil alternativ. men begrepet vanilje eller vanlig vanilje kan brukes til å beskrive hvilket som helst alternativ som er av et standard, klart utvalg. I motsetning til dette er et eksotisk alternativ det motsatte, og involverer mye mer kompliserte funksjoner eller spesielle forhold som skiller slike alternativer fra de mer vanlige amerikanske eller europeiske alternativene. Eksotiske alternativer er forbundet med mer risiko fordi de krever avansert forståelse av finansmarkedene for å kunne utføre dem riktig eller vellykket, og som sådan handler de over disken. Eksempler på eksotiske alternativer inkluderer binære eller digitale alternativer, der utbetalingsmetodene er forskjellige ved at de tilbyr en endelig engangsbeløp utbetalt, i visse tilfeller, i stedet for en utbetaling som øker trinnvis ettersom den underliggende eiendomsprisen stiger. Andre eksotiske alternativer inkluderer Bermuda alternativer og Quantity-Adjusting alternativer. For å peke på et annet eksempel på bruken av vanlig vanilje, er det også vanille swaps. Swaps er i hovedsak en avtale mellom to parter om å utveksle sekvenser av kontantstrømmer i en forutbestemt tidsperiode under vilkår som rentebetaling eller valutakursbetaling. Swaps-markedet handles ikke på felles børser, men er snarere et over-the-counter-marked. På grunn av dette og arten av swaps dominerer store firmaer og finansinstitusjoner markedet med individuelle investorer sjelden velger å handle i swaps. En vanlig vaniljeswap kan inneholde en vanlig vanilje renteswapp hvor to parter inngår en avtale hvor en part er enig om å betale en fast rente på et bestemt beløp på bestemte datoer og for en angitt tidsperiode. Motparten foretar betalinger med flytende rente til første part i samme tidsperiode. Dette er en veksling av renten på visse kontantstrømmer, og brukes til å spekulere på endringer i rentenivået. Det er også vaniljevareswaps og vanille valutaswaps. Vanilje i kontekst Vanlig vanilje brukes også til å beskrive mer generaliserte økonomiske begreper. Et vanlig vanilje-kort er et klart kortsiktig kredittkort med bare definerte vilkår. En vanlig vanilje tilnærming til finansiering kalles en vanilje strategi. En slik vanlig vanilje-tilnærming ble krevd av mange i den politiske og akademiske finansverdenen etter den økonomiske konjunkturen i 2007 delvis på grunn av risikable boliglån som bidro til et tanket boligmarked. Under Obama-administrasjonen presset visse politikere, økonomer og andre til et regulerende byrå som ville stimulere en vanlig vanilje-tilnærming til finansiering av boliglån, blant annet fastsetter det at långivere må tilby standardiserte, lavrisiko-lån til kunder. Samlet sett i kjølvannet av den globale finanskrisen i 2007. Det har vært et press for å gjøre det finansielle systemet sikrere og mer rettferdig. Denne tankemodusen gjenspeiles i passeringen av Dodd-Frank Wall Street Reform and Consumer Protection Act i 2010, som også gjorde det mulig å opprette Consumer Financial Protection Bureau (CFPB). CFPB håndhever forbrukerrisikobeskyttelse delvis gjennom å regulere finansieringsmuligheter som krever en vanlig vanilje-tilnærming. Valutaveksling Forklaret Oppdatert: 14. juli 2016 kl. 08:48 En valutaopsjon er en type valutarivatkontrakt som tillater det holder rett, men ikke forpliktelsen, å engasjere seg i en forex-transaksjon. For å lære mer om forex trading, besøk forex for dummies her. Generelt vil kjøper et slikt alternativ tillate en forhandler eller hekker å velge å kjøpe en valuta mot en annen i et spesifisert beløp innen eller på en bestemt dato for en oppfordringskostnad. Denne retten er gitt av opsjons selgeren i bytte for en upfront kostnad kjent som opsjons premie. Med hensyn til deres handelsvolum gir forexopsjoner i dag omtrent 5 til 10 av den totale omsetningen i valutamarkedet. Valutaalternativ Terminologi Snarere spesifikt sjargong brukes i valutamarkedet for å spesifisere og referere til valutaalternativer. Noen av de mer vanlige alternativrelaterte vilkårene er definert nedenfor: Øvelse - Handlingen som utføres av opsjonskjøperen om å varsle selgeren om at de har til hensikt å levere på opsjonene underliggende valutakontrakt. Utløpsdato - Den siste datoen da opsjonen kan utøves. Leveringsdato - Datoen for når valutaene skal byttes dersom opsjonen utøves. Anropsalternativ - Gir rett til kjøp av valuta. Put Option - Gir rett til å selge en valuta. Premium - Den opprinnelige prisen involvert i å kjøpe et alternativ. Strike Price - Raten hvor valutaene vil bli byttet dersom opsjonen utøves. Valutaalternativ Prisfaktorer Prisen på valutaalternativer bestemmes av grunnleggende spesifikasjoner av strykekurs, utløpsdato, stil og om det er et anrop eller satt på hvilke valutaer. I tillegg er en opsjonsverdi også avhengig av flere markedsbestemte faktorer. Spesielt er disse markedsdrevne parametrene: Den gjeldende spotrenten Interbank innskuddsrente for hver av valutaene Det nåværende implisitte volatilitetsnivået for utløpsdatoen Implisitt volatilitet i Valutaopsjoner Den underforståtte volatilitetsmengden er unik for opsjonsmarkeder og er relatert til årsbalansen avvik av valutakursendringer forventet av markedet i opsjonslivet. Alternativ markeds beslutningstakere anslår denne nøkkelprisingsfaktoren og uttrykker det vanligvis i prosent, kjøp alternativer når volatiliteten er lav og salgsmuligheter når volatiliteten er høy. Valutavekslingshandelseksempel Når du handler valutaalternativer, må du først huske på at tiden virkelig er penger, og at hver dag du eier et alternativ, vil trolig koste deg når det gjelder tidsforfall. Videre er dette tidsforfallet større, og representerer derfor flere av et problem med kort daterte alternativer enn med langt daterte alternativer. Når det gjelder et eksempel, bør du vurdere situasjonen til en teknisk forex-aktør som observerer en symmetrisk trekant på de daglige diagrammene i USDJPY. Triangelet dannet også over flere uker med en veldefinert intern bølgestruktur som gir næringsdrivende stor sikkerhet om at en pause er nært, selv om de ikke er sikre på hvilken måte det vil oppstå. Også volatilitet - et nøkkelelement som påvirker prisingen av valutaalternativer - i USDJPY, har gått ned i konsolideringsperioden. Dette etterlater USDJPY valutaalternativer relativt billig å kjøpe. For å bruke valutaalternativer for å dra nytte av denne situasjonen, kunne handelsmannen samtidig kjøpe et USD CallJPY Put-alternativ med en strykpris plassert på nivået for triangemønsteret økende synkende trendlinje, samt et USD PutJPY Call-alternativ slått på nivået av trianglene nedre stigende trendlinje. På denne måten når utbruddet oppstår og volatiliteten i USDJPY stiger igjen, kan næringsdrivende selge ut alternativet som ikke drar nytte av videre bevegelser i retning av breakout mens du holder det andre alternativet til nytte ytterligere av det forventede målte bevegelsen i diagrammet mønster. Bruk av valutaalternativer Valutaalternativer har hatt et økende omdømme som nyttige verktøy for sikringsgivere til å håndtere eller forsikre seg mot valutarisiko. For eksempel kan et amerikansk selskap som ser ut til å sikre seg mot en mulig tilstrømning av pund sterling på grunn av et ventende salg av et datterselskap i Storbritannia, kunne kjøpe en pund sterling putU. S. Dollar-anrop. Valutavalg Hedgeeksempel Når det gjelder en enkel valutasikringsstrategi ved bruk av alternativer, vurder situasjonen til en eksportør for minebruksvarer i Australia som har en forventet, men ikke sikker, forsendelse av gruvedriftsprodukter som skal sendes for videre forfining til USA hvor de vil bli solgt for amerikanske dollar. De kunne kjøpe et Aussie Dollar call optionU. S. Dollar-alternativet i mengden av den forventede verdien av den forsendelsen, som de da vil betale en premie på forhånd. Videre kan den valgte forfallstidspunktet korrespondere når forsendelsen sikkert forventes å bli betalt i sin helhet, og strekkprisen kan enten være på dagens marked eller på et nivå for AUDUSD-valutakursen hvor forsendelsen vil bli urentabel for selskapet . Alternativt, for å spare på premiekostnaden, kunne eksportøren bare kjøpe et alternativ ut til når noe usikkerhet om forsendelsen og bestemmelsesstedet sannsynligvis ble fjernet, og størrelsen ble forventet å bli nesten sikret. I så fall kan de erstatte opsjonen med en terminkontrakt for å selge amerikanske dollar og kjøpe australske dollar i den nåværende størrelsen på avtalen. I begge tilfeller, når gruveprodusentene AUD CallUSD Put-opsjon utløper eller selges, bør eventuelle gevinster som oppnås på den, bidra til å kompensere ugunstige endringer i prisen på den underliggende AUDUSD-valutakursen. Flere bruksområder av valutaopsjoner Forex-opsjoner gjør også et nyttig spekulativt kjøretøy for institusjonelle strategiske handelsfolk for å oppnå interessante profitt for profitt og fortjeneste, spesielt når det handles på mellomlang sikt på markedet. Selv personlige forexhandlere som handler i mindre størrelser, kan handle valutaalternativer på futures utveksling som Chicago IMM, samt gjennom noen detaljhandel forex meglerhandel. Noen forhandlere tilbyr også STOP - eller Single Payment Option Trading-produkter som koster en premie, men gir en kontant utbetaling dersom markedet handler til anskaffelseskurs. Dette ligner på et alternativ for binær eller digital eksotisk valuta. Valutaalternativ Styles and Exercise Choices Vanlige valutaalternativer kommer i to grunnleggende stiler som er forskjellige når innehaveren kan velge å bruke eller trene dem. Slike alternativer er også ofte kjent som vanlig vanilje eller bare vanilje valuta alternativer for å skille dem fra de mer eksotiske alternativ varianter dekket i en senere del av dette kurset. Den vanligste stilen som handles i Over-the-Counter eller OTC forex-markedet, er European-Style-alternativet. Denne opsjonsalternativet kan bare utøves på utløpsdatoen til en bestemt spesifikk cutoff-tid, vanligvis klokken 15:00 i Tokyo, London eller New York. Likevel er den vanligste stilen for alternativer på valutaterminer, som de som handles på Chicago IMM-utvekslingen, kjent som amerikansk stil. Denne stilen av alternativet kan utøves til enhver tid fram til og med utløpsdato. Denne fleksibiliteten av amerikanske stilalternativer kan gi ekstra verdi til deres premium i forhold til europeiske stilalternativer som noen ganger kalles Ameriplus. Likevel er den tidlige utøvelsen av American Style-opsjonene vanligvis bare fornuftig for dyp i innkjøpsalternativene på høyrentemarginen, og selger alternativet i stedet vil vanligvis være det bedre valget i de fleste tilfeller. Risikoerklæring: Valutakurs på margen gir høy risiko og kan ikke være egnet for alle investorer. Muligheten er at du kan miste mer enn ditt første innskudd. Høy grad av innflytelse kan virke mot deg så godt som for deg. Prøve og sikring av FX-vaniljealternativene Transkripsjon 1 Prissetting og sikring av FX-vaniljeopsjoner En empirisk studie på sikringsytelsen av en dynamisk Black-Scholes delta-sikring med oppdatering underforstått volatilitet under forutsetningen om henholdsvis Heston og Black-Scholes underliggende dynamikk, i interpoleringeksxtrapolering av opsjonspriser. Jannik Noslashrgaard MSc Finans Avhandling Supervisor: Elisa Nicolato Institutt for bedriftsstudier Handelshøyskolen i Aarhus, august 2011 2 c Jannik Noslashrgaard 2011 Avhandlingen er skrevet med Computer Modern 12pt Layout og typografi er laget av forfatteren ved hjelp av LA TEX Forfatteren ønsker å takke følgende: Min veileder Elisa Nicolato, Forsker ved Handelshøyskolen i Aarhus i Finansforskningsgruppen, Århus, Danmark for råd. En takk til Matthias Thul, PhD kandidat i økonomi ved Australian Business School, New South Wales, Sydney, Australia for å svare på spørsmål. Jeg takker de personene som har hjulpet meg med å få tilgang til Bloomberg-terminaler på Aarhus Universitet, samt ansatte på Bloomberg-pulten for å svare på spørsmålene mine. Til slutt takker Nordea for å gi meg tilgang til Nordea Markets-plattformen, Nordea Analytics, hvor jeg har samlet tilleggsdata. 3 Jeg vil benytte anledningen til å takke foreldrene mine for deres ubetingede støtte i mine studieår. 4 Sammendrag Avhandlingen viser bevis mot Black-Scholes-antagelsen om en diffusjonsprosess for loggaktivprisen som har stasjonære og uavhengige normale inkrementer, noe som resulterer i en logg normal fordeling av avkastningen ved å vurdere en tidsserie spotrenter på EURUSD og USDJPY dekker en periode de siste årene. Observasjoner av distribusjoner som viser høy toppunkt og kvotehalequot samt observasjoner av volatilitetsklynging støttes av empiriske bevis på heteroscedastisitet, noe som betyr at volatiliteten til avkastningen ikke er konstant over tid, og bevis for autokorrelasjon. For å kalibrere The Heston-modellen og Black-Scholes-modellen til markedspriser på vaniljeopsalgsmuligheter behandler avhandlingen de spesifikke siteringskonvensjonene for valutaspesifikasjoner og vurderer forskjellen mellom EURUSD og USDJPY. Et datasett på 371 siste handelsdager hentes fra publiserte sitater på Bloomberg, hvor hver modell er kalibrert til et sett med tilleggspriser på hver dag for å oppnå en samlet godhet med passform som viser den overlegne ytelsen til Heston-modellen. For begge underliggende FX-par er volatilitetsoverflaten negativ skråformet gjennom hele den vurderte perioden. Basert på kalibreringene etableres et storskala sikringseksperiment der en rekke vaniljeopsalgsmuligheter med forskjellige løpetider og streiker selges hver dag. En dynamisk BS Delta-sikring med oppdatering av implisitt volatilitet simulert i hver av modellene, gir bedre sikringsytelse når den underliggende dynamikken følger Heston-modellen. Videre ser vi at sikringsfeilen er korrelert med underliggende avkastning. 5 Innhold Innholdsfortegnelse Liste over figurer Liste over tabeller i iii v 1 Introduksjon 1 2 Problemeretning Forskningsmetode Avgrensing FX-markedet FX-rente FX-forward-kontrakt FX-alternativer Black-Scholes-modellen Geometrisk Brownian Motion Black-Scholes-ligningen Garman-Kohlhagen-formelen Simulering av Black-Scholes-modellen Empiriske fakta Fordelingen av FX returnerer Heston-modellen Prosessen Løsningen Simulering av Heston-modellen Markedsdata 29 i 6 7.1 Angivelse av konvensjoner Å hente den stiltiende volatiliteten Databeskrivelse 35 9 Kalibrering av modellene Å bygge markedets implisitte volatilitet overflate Kalibrering av Heston-modellen Kalibrering av Black-Scholes Modell Mål Funksjon Kalibreringsresultater Empirisk studie på sikringsprestasjoner Størrelsen på studien Strike nivåer Sikringsporteføljen Resultater Konklusjon 55 Bibliografi 57 A Hente strykpris tilsvarende en premie inkludert Delta 60 B Bygg markedet implisitt volatilitet overflate 63 C Calibrati på Heston-modellen 76 D Kalibrering av Black-Scholes-modellen 82 E Simulering av Heston-modellen 85 F Simulering av Black-Scholes-modellen 89 G Ingen hekk 92 H Dynamisk BS Delta Hedge med oppdatering imp. vol. fra Heston-modellen 97 I Dynamic BS Delta Hedge med oppdatering imp. vol. fra Black-Scholes-modellen 109 ii 7 Liste over figurer 5.1 Empirisk prøvefrekvens for EURUSD Empirisk prøvefrekvens for USDJPY QQ-plott for EURUSD QQ-plott for USDJPY Daglig logg returnerer for EURUSD Daglig logg returnerer for USDJPY Autokorrelasjon for EURUSD Autocorrelation for USDJPY Rullende historisk volatilitet for EURUSD Rullende historisk volatilitet for USDJPY En uke flytende gjennomsnitt av kappa Én uke glidende gjennomsnitt av theta Én uke glidende gjennomsnitt av eta Én uke glidende gjennomsnitt av rho Én uke glidende gjennomsnitt av vt Anropspriser 1M på EURUSD 14 Anropspriser 1Y på EURUSD 14 Imp . vol. 1M på EURUSD 14 Imp. vol. 1Y på EURUSD 14 Anropspriser 1M på EURUSD 61 Anropspriser 1Y på EURUSD 61 Imp. vol. 1M på EURUSD 61 Imp. vol. 1Y på EURUSD 61 Anropspriser 1M på USDJPY 14 Anropspriser 1Y på USDJPY 14 Imp. vol. 1M på USDJPY 14 imp. vol. 1Y på USDJPY 14 Anropspriser 1M på USDJPY 61 Anropspriser 1Y på USDJPY 61 iii 8 9.20 Imp. vol. 1M på USDJPY 61 Imp. vol. 1Y på USDJPY 61 Utvikling i EURUSD spotrate Utvikling i USDJPY spotrate iv 9 Liste over tabeller 5.1 Jarque-Bera test på normalitet Levene s-test for likestilling av varianter Premium inkludert Delta Konvertering av et Premium-inkludert Delta til Strike Kvartalsvis gjennomsnittlig og standardavvik av Godhet med passform av Heston-parametere Kvartalsverdier og standardavvik for godheten til passformen til Black-Scholes-parameteren Heston-parameterverdier på 142010 og 612010 på EURUSD Heston-parameterværdiene på 142010 og 612010 på USDJPY Black-Scholes-parameterværdiene på 142010 og 612010 på EURUSD og USDJPY Antall opsjoner som er undersøkt Antall opsjonsutløp i kvartalsperioder Deltanivå i gjennomsnitt av kortslutte EURUSD-opsjoner ved initiering Deltanivå i gjennomsnitt av korte USDJPY-opsjoner ved initiering Antall EURUSD-anropsalternativer som utløper in-the-money Antall av USDJPY-opsjoner utløper in-the-money Den gjennomsnittlige fortjeneste og standardavviket på sikringsfeilen w med Black-Scholes og Heston-prissetting v 10 1 Introduksjon I en finansiell verden som har opplevd markedskrasj fra og med Black Monday i 1987, har innføringen av ekstreme markedsbevegelser gitt anledning til revurdering av forutsetningene bak prisingen av finansielle instrumenter som opsjoner på aksjer samt utenlandsk valuta. Tidligere har markedsdeltakere og utøvere avhengig mer av Black-Scholes-modellen og antagelsen om avkastning, mens dagens markedspriser på opsjoner ikke gjenspeiler de som forventes av Black-Scholes-modellen. I stedet har det oppstått en rekke stokastiske volatilitetsmodeller, med Heston-modellen som den mest kjente, med mer realistiske antagelser om sannsynlighetsfordelingen av eiendomsavkastningen i dag. Likevel brukes Black-Scholes-modellen av markedsdeltakere og utøvere i kringgående som unngår feilene. Denne oppgaven inkorporerer bruken av begge typer modeller og forsøker å avdekke prisspørsmål og, i en empirisk undersøkelse, undersøker om man foretrekker den andre, gitt en bestemt pris - og sikringsinnstilling. I kapittel 3 begynner vi med en introduksjon til valutamarkedet og FX-vanilje-alternativene, som handles over-the-counter (OTC). Dette faktum påvirker dataene som samles inn for å representere markedsprisene, som i dette tilfellet hentes fra Bloomberg hvor en arbitragefri volatilitetsoverflate er rapportert fra en samling opsjonsnotater fra flere bidragsytere som representerer verdens største finansinstitusjoner. Som motsatte til å bytte omsetningsmuligheter som er notert med fast forfallstidspunkt og med initiering av nye opsjoner kun på faste datoer, fra Bloomberg, får vi et komplett sett med nye opsjoner hver dag som dekker samme løpetid som bare ved utløp en dagen senere enn de foregående dagene sitert alternativer. 1 11 Kapittel 4 dekker Black-Scholes (BS) - modellen og dens forutsetninger om lognormalt fordelt avkastning. Med spesiell interesse for prisingen av FX-alternativer presenterer vi Garman-Kohlhagen-formelen, som er en enkel utvidelse til BS-modellen. I dette kapitlet presenterer vi videre konseptet om den underforståtte sannsynlighetsdensitetsfunksjonen og risikos nøytrale verdsettelse. Endelig presenterer vi simuleringen av BS-modellen. I kapittel 5 analyserer vi distribusjonen av FX-loggavkastning med tanke på et utvalg av de siste årene spot FX-priser og sammenligner dette med antagelsen om loggstandard distribuert avkastning i BS-modellen. Resultatene her inspirerer til å vurdere ulike forutsetninger om fordelingen av loggkast, noe som fører oss til å introdusere en stokastisk volatilitetsmodell i neste kapittel. Kapittel 6 introduserer deretter prosessen og den lukkede formløsningen til Heston-modellen. Ved kalibrering av Heston-modellen kalibrerer vi til denne lukkede formløsningen ved numerisk integrasjon. Videre presenterer vi simuleringen av Heston-modellen som utføres i et blandingsløsningsramme simulert i et Milstein-system. Før den empiriske studien presenterer vi kapittel 7, som forklarer de svært FX-spesifikke siteringskonvensjonene. Mer omfattende enn andre opsjonsmarkeder FX-opsjonsmarkedet har et bredt spekter av mulige konvensjoner som må håndteres riktig for å kunne bygge en volatilitetsoverflate basert på anbudene i markedet. Mer spesifikt er volatilitetene sitert i handelsstrukturer som må konverteres. Videre er opsjonene sitert med hensyn til Delta i moneyness-dimensjonen. Avhengig av Delta-konvensjonen til det spesifikke FX-paret, må vi bruke en numerisk estimeringsteknikk for å hente streikenivået. Kapittel 8 består av en oversikt over dataene som brukes i den empiriske studien. I kapittel 9 kalibrerer vi BS-modellen og Heston-modellen til hver dag på 371 handelsdager i perioden fra 14 222011. Vi presenterer objektivfunksjonen og den arvelige vektingsplanen som er felles for begge modellene. Vi analyserer også sensitiviteten til volatilitetsoverflaten til endringen i Heston parametere ved å se på to forskjellige dager. Også en sammenligning mellom evnen til de to modellene til å passe de observerte markedsprisene gjøres ved å beregne godheten til passform for hver modell. I kapittel 10 legger vi fram sikringsstrategien som består av en dynamisk BS Delta-sikring med oppdatering av implisitt volatilitet simulert i BS-modellen og simulert i Heston-modellen. Mer spesifikt sikrer vi en rekke opsjoner med kortere anrop med ulike løpetider og streiknivåer. Vi identifiserer deretter hvilke elementer som endrer verdien av sikringsporteføljen. Til slutt presenterer vi funnene fra studien som sammenlignet BS-modellen som et verktøy i interpolasjoneksxtrapoleringen av oppdatering 2 12 implisitt volatilitet til Heston-modellen ved å sammenligne sikringsytelsen til den samme BS Delta-sikringen. 3 13 2 Problemstilling I denne studien vurderer vi de to FX-parene EURUSD og USDJPY. Vi starter med følgende innledende forskningsspørsmål: I. Hvordan er FX-avkastningen fordelt i forhold til en periode de siste årene II. Hvordan sammenligner fordelingen av FX-avkastningen sammen med forutsetningene om loggstandard distribuert eiendomsavkastning i Black-Scholes-modellen Som påpekt av (Reiswich og Wystrup, 2010), er smilkonstruksjonsprosedyren og volatilitetsnoteringsmekanismerne FX-spesifikke og avviker betydelig fra andre markeder. markedsdeltakere inn i valutamarkedet OTC-derivatmarkedet konfronteres med det faktum at volatilitetsmiljøet vanligvis ikke er direkte observert i markedet. Til forskjell fra andre markeder, er FX smilet gitt implisitt som et sett av restriksjoner som følger med markedsinstrumenter. Dette fører oss til spørsmålet: III. Hvordan håndterer vi de FX-spesifikke siteringskonvensjonene for å ende opp med markedsprisene på vanlig vanilje-alternativ. I en svært nylig papirkvotering av sikringsstrategier for å estimere modellrisiko og bestemmelsesberegningsquot (Elices, 2011), studerer forfatterne sikringsprestasjonen til BS-modellen og Vanna-Volga-metoden ved å anta at markedsvolatiliteten er drevet av Heston s dynamikk kalibrert å markedsføre for en gitt tidshorisont. Sikringsstrategien er da bygget for å nøytralisere de usikre faktorene i Heston-modellen som består av spot og volatilitet. På samme måte stole vi på en modellavhengig bygning av volatilitetsoverflaten ved å kalibrere BS-modellen og Heston-modellen til henholdsvis de observerte markedspriser. 4 14 IV. Hvor godt respekterer henholdsvis Black-Scholes og Heston-modellen et sett av markedspriser på vanille-alternativer i løpet av en nylig periode. Da bruker vi disse kalibreringene for å undersøke hvor bra en ren Delta-sikringsstrategi, med Delta beregnet som en BS Delta, er i stand til å kopiere utbetalingen av en vanlig vanilje FX call opsjonskontrakt. Vi lager en innstilling der et sett av europeiske vanille-FX-alternativer med ulike løpetider og streiker selges hver dag i løpet av 371 handelsdager. Ved delta sikring av hver opsjonskontrakt individuelt til utløpet, oppnår vi sikringsfeil som vi uttrykker som forskjellen mellom utbetalingen av opsjonskontrakten og sikringsporteføljen. To eksperimenter er satt opp der vi beregner BS Delta dynamisk med en oppdateringsvolatilitet fra Black-Scholes-modellen og en oppdatert implisitt volatilitet fra Heston-modellen. Dette fører til de endelige forskningsspørsmålene: V. Bruk av en dynamisk BS Delta-sikring med oppdatering av implisitt volatilitet under antagelsen om Black-Scholes underliggende dynamikk, hva er standardavviket til sikringsfeilen for hver opsjonskontrakt VI. Ved bruk av en dynamisk BS Delta-sikring med oppdatering av implisitt volatilitet under forutsetning av Heston underliggende dynamikk, hva er standardavviket til sikringsfeilen for hver opsjonskontrakt VII. Er resultatet av sikringen korrelert med markedsavkastningen. 2.1 Forskningsmetode Vi peker på og argumenterer for vårt valg av forskningsstrategi på tre områder av oppgaven: Inkluderingen av to forskjellige FX-par, byggingen av den underforståtte volatilitetsoverflaten og rekkevidden av opsjonspriser brukt til å bygge den underforståtte volatilitetsoverflaten. Vi velger å inkludere både EURUSD og USDJPY i studien på grunn av hovedsakelig en grunn. Siteringskonvensjonene for de to parene er forskjellige, og ved å inkludere begge viser vi hvordan de skal håndtere disse forskjellige siteringskonvensjonene. I tillegg til denne grunn har volatilitetsoverflaten til disse to parene historisk hatt forskjellige former med EURUSD som viser mer av et symmetrisk smil, og USDJPY utviser et trinnskifte (Bossens, Rayee, Skantzos og Deelstra, 2010), (Beneder og Elkenbracht-Huizing, 2003), (Chalamandaris og Tsekrekos, 2008). Som andre studier er dette et forsøk på å dekke et annet sett av markedsforhold (Bossens, Rayee, Skantzos og Deelstra, 2010). 5 15 Vi kalibrerer til rå data hvor ingen interpolering eller ekstrapolering har funnet sted på forhånd. Alternativt kunne vi ha brukt en SVI parametrisering (Gatheral, 2006) eller en annen funksjonell form for først å bygge overflaten og kalibrere deretter til et sett med interpolerteextrapolerte priser. Vi kalibrerer til bare noen få muligheter som teller 5 forskjellige løpetider og 5 forskjellige streiknivåer. Dette er gjort på grunn av to grunner. Først vil vi kalibrere bare til rå data som ennå ikke er interpolert i Bloombergs egen interpoleringsplan, som kan ses i (Bloomberg, 2011). Bloombergs interpolering er basert på ATM, 25 Delta og 10 Delta-sitater og, hvis tilgjengelig, og 5 Delta (Bloomberg, 2009). Dette faktum sikrer at vi bare kalibrerer til rå data. For det andre har det vært en stor innsats i utviklingen av metoder som er i stand til å bygge den fullstendige implisitte volatilitetsoverflaten med bare noen få opsjonsalternativer (Malz, 1997), (Castagna og Mercurio, 2006), Reiswich og Wystrup, 2010). På et OTC-opsjonsmarked er det ofte kun få priser tilgjengelig, og vi vil begrense denne studien til å bare inkludere de prisene som oftest er tilgjengelige. Denne oppgaven bruker samme utvalg av opsjonspriser fra samme kilde som i U. Wystrup og D. Reiswichs artikkel quotFX Volatility Smile Constructionquot (Reiswich og Wystrup, 2010) ved å bruke ATM, 10D RR, 25D RR, 10D VWB og 25D VWB sitater publisert på Bloomberg. 2.2 Avgrensing Avhandlingen er begrenset i områder hvor tilføyelser ville gi mer nøyaktighet og detalj i studien. For å kunne teste en prismodell for sine feilspesifikasjoner kunne et klassisk sikringseksperiment som det som ble utført i (Bakshi, Cao og Chen, 1997) og (Elices, 2011) gjøres. Her tester de modellens evne til å replikere et opsjonsutbytte ved å ta posisjoner i alle eiendeler som er nødvendige for å nøytralisere risikoen med dette tallet, avhengig av antagelsen om den oppgitte prismodellen. For Heston-modellen innebærer dette å ta stilling i både det underliggende og et annet alternativ for å oppnå en delta-neutral sikring. I denne oppgaven begrenser vi oss til bare å ta stilling i en aktiv, den underliggende. Så denne studien kan ikke klassifiseres under denne typen konvensjonell tilnærming. Rentesettingen i denne studien er forenklet. Det har ikke vært noen bygning av en renteterminstruktur som skal brukes i simuleringen av opsjonsprisingen 6 16 modeller. Vi har heller ikke vurdert opsjonsprisemodeller med stokastiske rentenivåer som i (Bakshi, Cao og Chen, 1997). Vi ser også bort fra temaet standardrisiko i rentenivået som er et varmt tema i dag etter de nåværende finanskrisene. Ingen hoppemodeller har blitt vurdert som en stokastisk volatilitet pluss hopp i den underliggende (SVJ) modellen. Disse modellene er bedre å reflektere volatilitetsoverflaten på kort sikt sammenlignet med en stokastisk volatilitetsmodell (Gatheral, 2006). Med tanke på de to FX-parene som er inkludert i denne undersøkelsen, og formen på de respektive volatilitetsflatene, har en SVJ-modell ikke engang vært i stand til å forbedre prisen som passer i forhold til en stokastisk volum. modell. Forskere påpeker en nødvendig justering av volatilitetsnotatet på trinnvis skjeve markeder (Reiswich og Wystrup, 2010), (Bossens, Rayee, Skantzos og Deelstra, 2010), (Castagna, 2010). Om siteringskonvensjonene på valutamarkedet og betydningen av den spesifikke tilpasningen av vegasvektede sommerfugl (VWB) sitat, er følgende sagt. en markedssammenheng som sikkert kan sees bort i mange situasjoner og priskonfigurasjoner, men kan ha en dyp innvirkning på volatilitetsoverflaten i andre. (Castagna, 2010, s. 116). Vi har utelatt estimatene for en slik justering. Sannsynligvis den viktigste begrensningen i denne studien er antall simuleringer som brukes. Dette gjelder simuleringen av Heston-modellen og BS-modellen i sikringseksperimentet. Presisjonen av prisingen i Heston-modellen kan forbedres ved å øke antall simuleringer, noe som resulterer i en enda bedre sikringsytelse, antagelig. 7 17 3 FX-markedet 3.1 FX-rente En valutakurs (FX-rente) er prisen på en valuta i form av en annen valuta. De to valutaene gjør et valutapar. Som et eksempel kan dette være valutaparet merket EURUSD. Dette er valutakursen i euro og ved slutten av handelsdagen 1. mai 2011 ble dette sitert på Dette er konvensjonen om hvordan man citerer dette valutakrysset, men det tilsvarer USDEUR. som bare er gjensidig verdi av den første valutakursen. Valutakursen EURUSD angir hvor mange amerikanske dollar som er verdt 1 euro. Den innenlandske (numeraire) valutaen er amerikanske dollar og utenlandsk (basis) valuta er euro. Så generelt sett er valutakursen prisen på basisvalutaen i forhold til den numeriske valutaen. Den siste gangen en dollar var verdt mer enn en euro var 4. desember 2002 på hvilken dag valutakursen ble sitert. Siden etter innføringen av euromynter og pengesedler 1. januar 2002 har dette vært den eneste år at amerikanske dollar har vært verdt mer enn euro, reflektert i en valutakurs mindre enn valutaterminskontrakt. Terminkontrakten gir sikring for noen som ønsker å låse i valutakursen for en fremtidig transaksjon. The buyer of a forward contract is then guaranteed a future exchange rate. The forward price is decided as F 0 S 0 e (rd r f )T (3.1) 8 18 The underlying asset in such contracts is a certain number of units of the foreign currency. The variable S 0 is defined as the spot price in domestic currency of one unit of the foreign currency and equivalently F 0 is the forward price in domestic currency of one unit of the foreign currency. Both domestic and foreign interest rates are the continuously compounded risk-free interest rates per annum Interest rate parity Equation 3.1 is exactly the interest rate parity, which in its continuous compounding form is often equated as F (t, T ) S t e rf (T t) e rd (T t) (3.2) or by its money market conventions for capitalization and discounting, i. e simple compounding (Castagna, 2010, p. 7) F (t, T ) S t (1 r f )(T t) (1 r d )(T t) (3.3) where r f and r d are the risk-free interest rates per annum and (T-t) follow the time convention of 360 trading days in a year. According to the interest rate parity, the forward exchange rate of a given currency pair is determined by the respective risk-free interest rates. As an example, we consider a holder of one unit of foreign currency. There are two ways that this can be converted into domestic currency at time T. One is by investing it for (T t) years at r f and at the same time selling a forward contract. Then at time T you would be obligated to sell the proceeds from the investment to collect domestic currency. The other possibility is to exchange the foreign currency to domestic in the spot market and then invest these at r d for (T-t) years. In the absence of arbitrage opportunities equation 3.4 should then hold (Hull, 2008, p. 113), which is exactly equation 3.2 rewritten. e rf (T t) F 0 S 0 e rd (T t) (3.4) The interest rate parity presented here is also called the covered interest rate parity as opposite to the uncovered interest rate parity (Oldfield and Messina, 1977). The former comes from the fact that the trading strategy is risk-free. This is opposite to the latter where you as a holder of the foreign currency still invest in r f, but instead 9 19 of simultaneously entering into a forward contract, you instead keep your position in foreign currency uncovered and exposed to the movement in the exchange rate from t to (T t). Empirical research shows that for developed countries, the covered interest rate parity holds fairly well. Prior to the dismantling of capital controls, and in many emerging markets today (interpreted as political risk associated with the possibility of governmental authorities placing restrictions on deposits located in different jurisdictions), the covered interest rate parity is unlikely to hold (Chinn, 2007). From an option pricing point of view the covered interest parity is an underlying assumption in one of the option pricing models introduced later on here. 3.3 FX options FX options are traded Over-The-Counter (OTC) as opposite to exchange traded options. As a trading platform an exchange serves as a link between a buyer and a seller. The exchange will be providing bid and ask quotes and will be on either one or the other end of the transaction. The market making is in this case carried out by the exchange. In the case of FX options there is no exchange involved in the transaction. A trade will be processed directly between buyer and seller. In one setting, one might think of a buyer being a corporation that is trading from a hedging or speculative point of view and the seller being a bank. On the FX options market one might think of the banks as market makers providing the prices on options and other FX derivatives. In order to hedge a foreign exchange exposure FX options are an alternative to FX forward contracts. The payoff from a long position in a European call option is max(s T K, 0) (3.5) and the payoff from a long position in a European put option is max(k S T, 0) (3.6) with S T being the spot exchange rate at maturity T of the option and K the agreed upon strike price. 10 20 Assuming we have the pair EURUSD, two counterparties entering into a plain vanilla FX option contract can agree on the following, according to the type of option traded: Type EUR call USD put: The buyer has the right to enter at expiry into a spot contract to buy (sell) the notional amount of EUR (USD), at the strike FX rate level K. Type EUR put USD call: The buyer has the right to enter at expiry into a spot contract to sell (buy) the notional amount of EUR (USD), at the strike FX rate level K. Considering, as an example, the last type listed above, an American company due to receive euro at a known time in the future can hedge its risk by buying put options on euro that mature at that time. This strategy guarantees that the value of the euros will not be less than the strike price while still allowing the company to benefit from any favorable upward movements in the exchange rate. Similarly, if the company where to pay euros in the future they could hedge their expose to upward movements in the exchange rate by buying calls on euros, the first type listed above. whereas forward contracts locks in the exchange rate for a future transaction and guarantees the parties an exchange rate, as described above, an option provides a type of insurance. It costs nothing to enter into a forward contract, whereas options require a premium to be paid paid up front in order to be insured. 11 21 4 The Black-Scholes model This chapter reviews the most well-known option pricing model, The Black-Scholes model (Black and Scholes, 1973), because of its inclusion in the empirical study. Also it remains the building block of present option pricing models, including the Heston model and the Bates model. 4.1 Geometric Brownian Motion Black-Scholes assumes the underlying spot price to follow a geometric Brownian motion generating log-normally distributed returns, the spot price in this case being the exchange rate on any given FX pair. The process is stochastic by including a Wiener process that introduces the randomness to the spot price. ds t micros t dt sigmas t dw S t (microdt sigmadw ) (4.1) The spot price S t depends on S t itself, a constant drift, micro, a constant volatility term, sigma, and a standard Wiener process, W t, where dt is denoting a time differential. In order to obtain the explicit solution to this stochastic differential equation (SDE) we consider equation 4.2 the process of logs, i. e. the process describing the log-returns. dlogs t (micro 1 2 sigma2 )dt sigmadz (4.2) i. e logs T logs 0 (micro 1 2 sigma2 )T sigmadz (4.3) 12 22 and the explicit solution is then obtained by taking the exponential of logs S T S 0 e (micro 1 2 sigma2 )T sigmaz T (4.4) 4.2 The Black-Scholes equation With the empirical study of this thesis in mind we have a look at the derivation of the Black-Scholes (BS) equation which is governing the BS option pricing formula. This will tell us the principle of delta hedging. Furthermore we take a look at the necessary adjustments to the Black Scholes equation in order to be able to price FX options in particular. As a note it is not in the interest of this thesis to go through the derivation of the solution to the BS equation that will lead to the BS formula. The Black-Scholes equation can be derived in many alternative ways i. e. using empirically established financial theories such as the CAPM and Arbitrage Pricing theory. The most general derivation assumes an economy with only the underlying asset and a risk-free money market depositrisk-free bond which together makes up the replicating portfolio of the value of the derivative. Meanwhile, the original derivation uses what is known as the hedging argument, and that is the derivation that we will outline here (Rouah, 2011). The derivation follows from imposing the condition that a risk-free portfolio made up of a position in the underlying asset and the option on that asset must return the same interest rate as other risk-free assets. As a result of this Black and Scholes propose that if it is possible to hedge an option position by dynamically rebalancing a stock position, then the price of a European call option should depend on the underlying spot price, S t (i. e. the FX rate), and the time to maturity on the option, T. In order to perform such a hedge Black and Scholes assumes a set of conditions to hold that they call the ideal market condition: The FX rate, S t, follows the geometric Brownian motion with known constant drift, micro, and volatility, sigma. The option can be exercised only at maturity. Trading takes place continuously in time. Money can be borrowed and lend at the same risk-free interest rate. Short selling is allowed. 13 23 Short-term risk-free interest rates (r d and r f ) are known and constant. The underlying asset pays no dividends. (This assumption is relaxed in the case of FX options.) We consider a portfolio made up of a quantity of the risky asset (i. e. the FX pair) and short one option on the FX pair (a put or a call, not yet specified). Let f(s, t) denote the value of the option and Pi(t) the value of the portfolio. Pi(t) S f(s, t) (4.5) is chosen at every time t so as to make the portfolio riskless. The self-financing assumption implies that dpi(t) ds df(s, t) (4.6) In order to decide the quantity to meet this condition we want to know the dynamics of f(s, t). Here we use Ito s Lemma, which is a rule for calculating differentials of quantities dependent on stochastic processes. df(s, t) f f dt t S ds sigma2 S 2 2 f dt (4.7) S2 and by plugging in 4.7 into 4.6 we get dpi ds ( f f dt t S ds sigma2 S 2 2 f S )dt 2 ( f )ds ( f S t sigma2 S 2 2 f )dt (4.8) S2 observing that the term ds is the only risky element to the portfolio value, we can eliminate this by setting which is satisfied if ( f S ) 0 f S (4.9) Then we have constructed a risk-free portfolio with the dynamics given in the last part of 4.8 and by a no arbitrage argument the portfolio must yield the risk-free interest rate, i. e. 14 24 dpi rpidt (4.10) Plugging the risk-free dynamics of the option value in 4.8 and the first equation 4.5 into 4.10 and rewrittin, we get the BS equation in ( f t sigma2 S 2 2 f f )dt r( S f(s, t))dt S2 S f t 1 2 sigma2 S 2 2 f f r( S f(s, t)) S2 S f t sigma2 S 2 2 f S r f S rf 0 (4.11) 2 S The derivation stipulates that in order to hedge the single option, we need to hold a quantity of the FX pair, which turns out to be the quantity f. This is the S principle behind delta hedging. Any price of a derivative with the same assumed process for the underlying as in equation 4.1 has to follow the BS equation. the equation has many solutions for the derivative price, f, where the particular price that is obtained depends on the payoff function of the given derivative. In the case of a European callput the solution is obtained in the BS formula, but for more complex payoff functions accompanied by more exotic options the analytical solution may be hard to obtain. 4.3 The Garman-Kohlhagen formula In the same year 1973 as the Black and Scholes paper was published the pricing model was quickly adjusted to include dividend paying stocks by Merton (1973). Robert C. Merton further concludes in this paper that the assumption of lognormally distributed returns and continuous trading is critical to the model. Without these, the delta hedge would not give a perfect hedge, thus making the arbitrage argument invalid. Many years later after the FX options was first listed on the Philadelphia Stock Exchange in 1982 (Exchange, 2004), the pricing model was adjusted to also be able to price FX plain vanilla options (Garman and Kohlhagen, 1983). Under similar assumptions as in Black-Scholes, that it is possible to operate a perfect local hedge between a FX option and underlying foreign exchange, Garman and Kohlhagen derive a PDE. One of the insights is that the risk-free interest rate of foreign currency r f has the same impact on the FX option price as the continuous dividend yield on the stock option. The main contribution is to combine the Black-Scholes model with the interest rate parity theory, as presented in the 15 25 beginning of this thesis. More precisely, by assuming the covered interest rate parity to hold and the underlying FX rate to follow a geometric brownian motion, the logarithmic difference between the forward, F (t, T ), and the spot, S(t), FX rates can be explained by the spread between the domestic risk-free interest rate, r d, and the foreign risk-free interest rate, r f. The resulting pricing formula for a call option in equation 4.12 is presented in its forward rate form, where the forward rate is explicitly present in the formula. This is a Black model (Black, 1976) (adjusted to price FX options), which is a variation of the original BS model and can be generalized into a class of models known as log-normal forward models. The adaption of the covered interest rate parity into the option pricing formula becomes apparent when we compare the calculation of the forward rate in Equation 4.12 to Equation 3.2. c e rd (t, t )tau) F (t, T )phi(d 1 ) Kphi(d 2 ) (4.12) d 1 F (t, t ) ln( ) 1 K 2 sigma2 tau sigma tau d 2 d 1 sigma tau F (t, T ) S t e rf (t, t )tau e rd (t, t )tau with the the equivalent spot rate form of the Garman-Kohlhagen formula c S 0 e rf (t, t )tau phi(d 1 ) Ke rd (t, t )tau phi(d 2 ) (4.13) d 1 ln( S 0 K ) (rd (t, T ) r f (t, T ) sigma2 )tau sigma tau d 2 d 1 sigma tau The foreign and domestic interest rates are risk-free and constant over the term of the option s life. All interest rates are expressed as continuously compounded rates Implied Probability Density Functions In order to establish a link between the observed option prices in the market and the characteristic shapes of the volatility surface we mention the implied risk-neutral density function (RND). 16 26 The RND in the Black-Scholes model is assumed to be lognormal with mean (r d r f v 2 2)(T t) and variance v 2 (T t). The price of an undiscounted call option is given by C(S 0, K, T ) Emax (4.14) K (s K) phi(s T, S 0 )ds (4.15) where phi(s T, S 0 ) in (4.15) is the probability density function of S T. This is a general pricing formula independent of the choice of pricing model. Pricing an option in this framework requires the knowledge of the probability density function, which is the distribution of the future spot prices. (Breeden and Litzenberger, 1978) found that provided a continuum of European call options with same maturity and a strike range going from zero to infinity written on a single underlying FX pair, we can recover the RND in a unique way by differentiating (4.15) with respect to K twice Risk-neutral valuation C K phi(s T, S 0 )ds (4.16) K 2 C K phi(s T, S 0)ds (4.17) 2 Another approach to find the price of a derivative is by risk neutral valuation or equivalently by the Martingale approach. The equivalence between the PDE approach and the risk neutral valuation is guaranteed by Feynman-Kac by establishing a link between PDEs and stochastic processes. The solution to the Garman-Kohlhagen equation can also be expressed in terms of an expectation. By the Feynman-Kac theorem we have V (S t, t) E Q e T t rs dds V (S T, T ) (4.18) where S t is the solution to the SDE (4.1) with micro r d r f. The drift is risk neutral and consists of the continuously compounded domestic interest rate net of the foreign interest rate. What (4.18) says is that the value of a contingent claim (a claim that is dependant on the underlying value) like a European option, can be calculated by finding the risk neutral expectation of the discounted terminal payoff. The terminal payoff is discounted by the domestic interest rate and the risk neutral 17 27 expectation and the Q measure involves the process of S T to evolve not as original but risk neutrally. To recapitulate the general pricing framework above, there is a connection between the existence of a replication portfolio replicating the final value of the option, and the existence of a equivalent martingale measure. They both guarantee an arbitrage-free price. This can be calculated as the current value of the replication portfolio, or as the expected value of the discounted terminal payoff of the option calculated under the risk-neutral probability measure. 4.4 Simulation of the Black-Scholes model We consider the risk neutral process in Equation (4.19) and compute the risk neutral expectation of the terminal payoff as suggested by the Feyman-Kac theorem. ds t (r d t r f t )S t dt sigma t S t dw (4.19) 18 28 5 Empirical facts 5.1 The distribution of FX returns Empirically we observe a departure from the normality assumption in the Black - Scholes model when we have a look at the distribution of log returns on EURUSD and USDJPY. In figures 5.1 and 5.2 the frequency distributions of two samples of daily log returns from 162006-532011 is pictured. A lognormal distribution with the same mean and standard deviation as the implied distribution is depicted by the solid line. The empirical distributions are highly peaked compared to the normal distribution. Furthermore from figures 5.3 and 5.4, which depict a Q-Q plot of the log returns vs. a normal distribution, we can observe that the empirical distributions of log returns does in fact exhibit fat tails and clearly deviates from the normality assumption. From the visual evidence of a highly peaked and fat tailed distribution (leptokurtic), we can conclude that small and large movements in the empirical samples occur more likely compared to normally distributed log returns. By looking at figures 5.5 and 5.6, where we plot the daily log returns of EURUSD and USDJPY, we see that large moves follow large moves (both up and down) and small moves follow small moves (both up and down). This is the so-called volatility clustering, where we observe that high and low volatility is clustered around certain time periods. This observation indicates autocorrelation, which is confirmed in Figures. -. Here the autocorrelations of absolute returns are estimated where all lags included is significantly positive. In addition to this, Figures 5.9 and 5.10 demonstrates mean reversion in the log returns by showing how volatility evens out when measured over a longer horizon. 19 29 Sample frequency Daily log - return EURUSD Sample frequency Daily log - return USDJPY Figure 5.1: Empirical sample frequency for EURUSD Figure 5.2: Empirical sample frequency for USDJPY 0.04 QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal 0.06 QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal Quantiles of Input Sample Quantiles of Input Sample Standard Normal Quantiles Standard Normal Quantiles Figure 5.3: Q-Q plot for EURUSD Figure 5.4: Q-Q plot for USDJPY Daily log return 0.06 EURUSD Year Daily log return 0.06 USDJPY Year Figure 5.5: Daily log returns for EU - RUSD Figure 5.6: Daily log returns for USD - JPY Sample Autocorrelation Function Sample Autocorrelation Function Sample Autocorrelation Sample Autocorrelation Lag Lag Figure 5.7: RUSD Autocorrelation for EU - Figure 5.8: Autocorrelation for USD - JPY 20 30 Historic vola, lity 0.3 EURUSD Year 3 month 1 year Historic vola, lity 0.35 USDJPY Year 3 month 1 year Figure 5.9: Rolling historic volatility for EURUSD Figure 5.10: Rolling histori c volatility for USDJPY Jarque-Bera To confirm our results and to find further evidence against the normality assumption underlying the Black-Scholes model we make use of the Jarque-Bera test (Jarque and Bera, 1987). Based on the sample kurtosis and skewness we test the null hypothesis that the data is drawn from a normal distribution. The null hypothesis is a joint hypothesis of the skewness being 0 and the excess kurtosis being 0, which in the latter case is the same as a kurtosis of 3. The overall conclusion by looking into tabel 5.1, when considering the full sample of log returns, is that we clearly reject the null hypothesis, that the sample data is from a normal distribution, in both the EURUSD and USDJPY case. This conclusion comes with a high degree of certainty with a significance level below 0.1. When we then have a look at the separate years considering first the EURUSD, we are able to reject in 3 out of 6 years at a significance level of 5.0, whereas for the USDJPY case this is 4 out of 6 years. When looking into the estimates of the overall skewness and kurtosis and comparing the two pairs, one observes that in terms of skewness the EURUSD deviates the most from a normal, whereas in terms of kurtosis it is the USDJPY that deviates the most from the normal. These differences in skewness and kurtosis between the two pairs is somewhat visual in figures 5.1 and 5.2 from before. Comparing the tails of the frequency distributions one might see that the EURUSD log returns has a longer right tail exhibiting more positive skewness whereas the USDJPY log returns has a longer left tail exhibiting more negative skewness (Even though apparently not enough for the full sample to be negatively skewed). Both distributions though are on an overall scale slightly positively distributed meaning that most values are concentrated on the left of the mean, with extreme values to the right (as opposite to negatively skewed distributions, where most values are concentrated on the right of the mean, with extreme values to the left). The difference in the kurtosis of the two pairs of log returns is also somewhat visual from the figures 5.3 and 5.4 from before, where the USDJPY 21 31 EURUSD Table 5.1: Jarque-Bera test on normality USDJPY period skewness excess kurtosis JB sign. level skewness excess JB sign. level gt lt 0.100 lt 0.100 lt 0.100 gt lt 0.100 gt lt 0.100 lt 0.100 log returns seems to exhibit the most kurtosis. The test statistic JB is defined as JB n 6 (S K2 ) (5.1) where n is the number of observations, S is the sample skewness in Equation 5.2 and K is the sample excess kurtosis in Equation 5.3. S circmicro 3 circsigma 3 1 n n i1 (x i x) 3 ( 1 n n i1 (x i x) 2 ) 3 2 (5.2) K circmicro 4 circsigma 4 3 1 n ( 1 n n i1 (x i x) 4 n i1 (x i x) 2 ) 3 (5.3) 2 where circmicro 3 and circmicro 4 are the estimates of the third and fourth central moments, respectively, x is the sample mean and circsigma is the estimate of the second central moment, the variance. 22 32 5.1.2 Levene Excess kurtosis might indicate heteroscedastic returns, where homoscedastic returns is the assumption underlying the Black amp Scholes model. We therefore perform the Levene s test of homoscedatic returns, where the null hypothesis is that the variance of two successive subsamples are equal as well as the variances of all subsamples. Considering the latter we strongly reject the hypothesis that the variance in the subsamples are constant thus violating the assumption in the Black Scholes model. Comparing the individual successive yearly subsamples, in the case of the EURUSD we are able to reject in 2 out of 5 cases at a significance level of 5. In the case of the USDJPY this is 4 out of 5 cases in correspondence with the superior excess kurtosis compared to the EURUSD case. Table 5.2: Levene s test on equality of variances EURUSD USDJPY period 1 period 2 volatility 1 volatility 2 Levene sig. level volatility 1 volatility 2 Levene sig. level 6.16 0.859 7.83 9.62 1.244 13.78 0.000 9.62 16.18 0.000 12.03 9.691 16.18 12.68 1.659 11.76 12.68 10.36 2.458 9.85 7.890 10.36 9.87 0.000 23 33 6 The Heston model The most well-known and popular of all stochastic volatility models is the Heston model (Gatheral, 2006) and was presented in (Heston, 1993). 6.1 The process The process followed by the underlying asset in the Heston model is with ds t micros t dt v t S t dw (1) t (6.1) dv t kappa(v t theta)dt eta v t dw (2) t (6.2) dw (1) t dw (2) t rhodt where kappa is the rate of reversion of v t to the long run variance, theta, eta is the volatility of volatility and rho is the correlation between the two stochastic increments of the processes dw (1) t and dw (2) t. The process of the underlying in (6.1) is the same process assumed in the Black Scholes model presented in (4.1) only now the volatility is stochastic. That is, another random factor is introduced by dw (2) t. What defines the specific process of the underlying in the Heston model compared to the general case of stochastic volatility models is dv t alpha(s t, v t, t)dt etabeta(s t, v t, t) v t dw (2) t (6.3) alpha(s t, v t, t) kappa(v t theta) beta(s t, v t, t) 1 24 34 where the process followed by the instantaneous variance, v t, can be categorized as a version of the square root process (CIR) in (Cox, Ingersoll Jr, and Ross, 1985). Given that the Feller condition in equation (6.4) is satisfied the variance process is always strictly positive. (Anderson, 2005) shows that this condition is often violated when calibrating the Heston model to market data. 2kappatheta eta 2 (6.4) What makes the Heston stochastic volatility model stand out from other stochastic volatility models can be adressed to two reasons. First, the volatility process is non-negative and mean reverting which is what we observe in the market. Secondly, The Heston model has a semi-analytical closed form solution for European option, which is fast and relatively easy to implement. The closed form solution is especially useful when calibrating the parameters in the model to the observed vanilla option market. This efficient computational ability of the model is characterised as the greatest advantage of the model over other potentially more realistic SV models (Janek, Kluge, Weron, and Wystup, 2010). Furthermore, after adapting the model to a FX setting, the model is described as being particular useful in explaining the volatility smile found in FX markets often characterised by a more symmetrical smile when comparing to equity markets where the structure is a strongly asymmetric skew as a consequence of the leverage effect on these markets(janek, Kluge, Weron, and Wystup, 2010). 6.2 The solution The PDE of the Heston model can be derived using the same approach as when we derive the PDE for the BS model where standard arbitrage arguments is used. In addition to the replication portfolio used to derive the BS model another asset in the form of an option is added in order to hedge the randomness introduced by the stochastic volatility. The following PDE can then be derived V t vs2 2 V S 2 rhoetavs 2 V v S eta2 v 2 V v 2 V rs S rv V v 0 (6.5) where lambda(s, v, t) is the market price of volatility risk. The closed-form solution of a European call option on an FX pair for the Heston model is S t P 1 Ke (r d r f )(T t) P 2 (6.6) 25